L'Hauptsatz di Gentzen

Il testo espone analiticamente la dimostrazione del teorema di eliminazione del Cut (Hauptsatz) dimostrato da G. Gentzen nelle sue “Untersuchungen über das logische Schliessen,” Mathematische Zeitschrift 39 (1935), pp. 176-210, pp. 405-431, traduzione in inglese in M.E. Szabo (a cura di), The Collected Papers of Gerhard Gentzen, North-Holland, Amsterdam-London, Investigations into Logical Deduction, 1969, pp. 68-131. La dimostrazione originale di Gentzen è una dimostrazione fondata su una doppia induzione, sul rango delle derivazioni e sul grado della formula soggetta al taglio. In questo testo la dimostrazione è una dimostrazione a doppia induzione, ma sulla lunghezza della derivazione e sul grado della formula soggetta al taglio. Il metodo da noi seguito, è ripreso con miglioramenti nel rigore formale e nella completezza analitica dei passaggi da L. Heindorf, Elementare Beweistheorie, Wissenschaftsverlag, Mannheim 1994, pp. 103-140. Inoltre, ci sono due differenze. In primo luogo, mentre Heindorf dimostra il teorema per il calcolo intuizionistico LJ, noi lo dimostriamo per il il calcolo classico LK. In secondo luogo, il nostro calcolo contiene solo la regola strutturale di Weakening e questo consente di semplificare la dimostrazione del teorema di eliminazione del taglio, evitando di dover far ricorso alla regola di fusione equivalente a quella del taglio. Un metodo simile è seguito anche da R. David, K. Nour, C. Raffalli, Introduction à la logique. Théorie de la démonstration, Dunod, Paris 2003, pp. 200-211. Anche altre esposizioni del teorema si differenziano dalla dimostrazione originale. Si veda, ad esempio, la dimostrazione schizzata in J.Y. Girard, Prooftheory and Logical Complexity, vol. I, Bibliopolis, Napoli, pp. 105-114, basata sulla doppia induzione sull’altezza della derivazione (height) e sul grado di complessità (degree) della formula soggetta al taglio. Per altri metodi si veda il cap. 4 di A. S. Troelstra, H. Schwichtenberg, Basic Proof Theory, Cambridge University Press, 2000, pp. 92-146. Un testo generale sui vari metodi di Cut-elimination è M. Baaz, A. Leitsch, Methods of Cut-Elimination, Springer, Dordrecht-NewYork 2011. Recentemente è uscito un numero unico di Studia Logica concernente i sistemi di deduzione inventati da Gentzen e da Jaskowski e perfezionati da altri studiosi. Si tratta di uno Special Issue a cura di Andrzej Indrzejczak, “Gentzen’s and Jaskowski’s Heritage. 80 Years of Natural Deduction and Sequent Calculi”, Studia Logica (2014), 102. Il volume si articola in tre parti: la prima comprende una esposizione preliminare del calcolo dei sequenti LK. Nella seconda si enuncia e si dimostra l’Hauptsatz. Nella terza sono illustrate alcune importanti conseguenze dell’Hauptsatz, alcune di carattere formale, altre di significato più filosofico. La seconda parte è arricchita di una appendice tecnica.